TURUNAN FUNGSI

PENGERTIAN TURUNAN FUNGSI

Definisi turunan : Fungsi f : x y atau y = f (x) mempunyai turunan yang dinotasikan y’ = f’(x) atau   dy  =  df(x) dan di definisikan :

                                                dx        dx

y’  =  f’(x)  =  lim    f(x + h) – f(x)  atau   dy = lim    f (x +x) – f(x)

                       h0          h                        dx    h0            h

Notasi kedua ini disebut notasi Leibniz.

Contoh 1:

Tentukan turunan dari   f(x) = 4x – 3

Jawab

f(x) = 4x – 3

f( x + h) = 4(x + h) – 3

             = 4x + 4h -3

Sehingga: f’(x) =  

                         = 

                         =  

                         = 

                         = 

                         =   4

Contoh 2;

Tentukan turunan dari  f(x) = 3x2

Jawab :

           f(x) = 3x2

           f(x + h) = 3 (x + h)2

                        = 3 (x2 + 2xh + h2)

                        = 3x2 + 6xh + 3h2

Sehingga :  f’(x) =

                           = 

                           = 

                           =  h

                           =  6x+ 3.0

                           =  6x

Latihan

Dengan definisi di atas tentukan nilai turunan berikut:

  1. f(x) = 6 – 2x
  2. f(x) = 5x2 +2x
  3. f(x) = 2x3

RUMUS-RUMUS TURUNAN

1. Turunan f(x) = axn adalah f’(x) = anxn-1 atau = anxn-1

2. Untuk u dan v suatu fungsi,c bilangan Real dan n bilangan Rasional berlaku

a.       y = ± v → y’ = v’ ± u’

b.      y = c.u → y’ = c.u’

c.       y = u.v → y’ = u’ v + u.v’

d.     

e.       y  = un → y’ = n. un-1.u’

Contoh:

Soal ke-1

Jika f(x) = 3x2 + 4 maka nilai f1(x) yang mungkin adalah ….

Pembahasan

f(x)       = 3x2 + 4

f1(x)     = 3.2x

            = 6x

Soal ke-2

Nilai turunan pertama dari: f(x) = 2(x)2 + 12x2 – 8x + 4 adalah …

Pembahasan

f(x)       = 2x3 + 12x2 – 8x + 4

f1(x)     = 2.3x2 + 12.2x – 8

            = 6x2 + 24x -8

Soal ke-3

Turunan ke- 1 dari f(x) = (3×-2)(4x+1) adalah …

Pembahasan

f(x)       = (3×-2)(4x+1)

f(x)      = 12x2 + 3x – 8x – 2

f(x)       = 12x2 – 5x – 2

f1(x)     = 24x – 5

Soal ke- 4

Jika f(x) = (2x – 1)3 maka nilai f1(x) adalah …

Pembahasan

f(x)       = (2x – 1)3

f1(x) = 3(2x – 1)2 (2)

f1(x) = 6(2x – 1)2

f1(x) = 6(2x – 1)(2x – 1)

f1(x) = 6(4x2 – 4x+1)

f1(x) = 24x2 – 24x + 6

Soal ke- 5

Turunan pertama dari f(x) = (5x2 – 1)2 adalah …

Pembahasan

f(x)       = (5x2 – 1)3

f1(x) = 2(5x2 – 1)(10x)

f1(x) = 20x (5x2 – 1)

f1(x) = 100x3 – 20x

Soal ke- 6

Turunan pertama dari f(x) = (3x2 – 6x) (x + 2)  adalah …

 

Pembahasan

f(x)       = (3x2 – 6x)(x + 2)

Cara 1:

Misal    : U   = 3x2 – 6x

              U1  = 6x – 6

              V   = x + 2

              V1  = 1

Sehingga:

f’(x)    = U’ V + U V’

f1(x)      = (6x – 6)(x+2) + (3x2+6x).1

f1(x)      = 6x2 + 12x – 6x – 12 + 3x2 – 6x

f1(x)      = 9x2 – 12

Cara 2:

f(x)       = (3x2 – 6x)(x + 2)

f1(x)      = 3x-3+6x2 – 6x3 – 12x

f1(x)      = 9x2+12x –12x– 12

f1(x)      = 9x2 – 12

Latihan soal.

Tentukan turunan dari:

  1. f(x)  =  2x -3
  2. f(x)  = 
  3. f(x)  =  4
  4. f(x)  = 
  5. f(x)  =  (2x + 1) (3x – 2)
  6. f(x)  = 
  7. f(x)  = 
  8. f(x)  = 

TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI

Dengan menggunakan definisi turunan kita bias menentukan turunan dari :

  1. f(x) = sin x

Yaitu :

f(x) = sin x

f(x + h) = sin (x + h)

f’(x)  = 

=  2 cos

=  cos x

  1.  f(x) = cos x

Yaitu :

f(x) = cos x

f(x + h) = cos ( x + h )

f’(x)  = 

=  

=  

=  

=   – 2 sin

=   – sin x

Jadi diperoleh rumus turunan fungsi trigonometri :

1.      a. f(x) = sin x → f’ (x) = cos x

b. f(x) = cos x → f’ (x) = – sin x

2.      a. f(x) = sin (ax + b) → f’(x) = a cos (ax + b )

      b. f(x) = cos (ax + b) → f’(x) = – a sin (ax + b )

      dan jika u suatu fungsi maka:

3.      a. f(x) = sin u → f’(x) = u’ cos u

      b. f(x) = cos u → f’(x) = – u’ sin u

Contoh :

Tentuka turunan dari:

a.       f(x) = 3 sin x + 2 cos x

b.      f(x) = sin (5x – 2)

c.       f(x) = tan x

jawab:

a. f(x) = 3 sin x + 2 cos x

    f’(x) = 3 cos x – 2 sin x

b. f(x) = sin (5x – 2)

    f’ (x)  =  5 cos (5x – 2 )

c. f(x) = tan x =

    missal : u = sin x → u’ = cos x

                 v = cos x → v’ = – sin x

    f’ (x) =

             = 

             =   

             =   

    =    sec2 x

Latihan soal :

Tentukan turunan dari fungsi berikut :

  1. f(x) = sin x – 3 cos x
  2. f(x) = sin 3x
  3. f(x) = cos (3x + )
  4. f(x) = tan
  5. f(x) = sec x
  6. f(x) = sin x. cos x
  7. f(x) = cos2x
  8. f(x) =

DALIL RANTAI UNTUK MENENTUKAN TURUNAN

Apabila y = f(g(x)) maka y’ = f’ (g(x)). g’(x)

Dari rumus y = f(g(x)) → y’ = f’ (g(x)). g’(x)

Jika g(x) = u→ g’ (x) =  dan f(g(x)) = f(u) → y = f(u) →  = f’(u) = f’(g(x))

Maka f’(x) = f’ (g(x)). g’(x) dapat dinyatakan ke notasi Leibniz menjadi

    

Dan bentuk tersebut dapat dikembangkan jika y = f ( u(v)) maka:

    

Contoh:

Dengan notasi Leibniz tentukan turunan dari :

a. y = (x2 – 3x)

b. y = cos5 ()

Jawab:

a. y = (x2 – 3x)

    missal : u = x2 – 3x →  = 2x – 3

                 y = u        →

                                                =

    Sehingga :

    = .(2x – 3)

                          =

b. y = cos5 ()

    Misal: v =  = -2

               u = cos v →  = – sin v = – sin ()

             y = u5  →  = 5u4 = 5(cos v)4

       Sehingga :

        = 5(cos v)4 . – sin () . -2

                                  = 10 (cos v)4 sin ()

                                  =  10 (cos() )4 sin ()

Latihan soal :

1. Dengan rumus turunan y = f ( g(x))  adalah f’ (x) = f’(g(x) ). g’(x)

    Tentukan turunan dari:

a.       y = ( 4x + 5)

b.      y = sin ( 3x – )

2. Dengan notasi Leibniz tentukan turunan fungsi berikut :

    a. y = ( 6 – x )3

    b. y = cos ( 4x – )

    c. y = sin -3 (2x + )

GARIS SINGGUNG PADA KURVA

  1. Gradien garis singgung

Perhatikan gambar di samping

Gradien garis AB adalah

m =

        =

        =

y=f(x)

Apabila garis ABdiputar pada titik A maka titik B akan bergerak mendekati titik A (h→0) maka tali busur ABmenjadi garis singgung (g) pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a))dengan gradient

           

Sehingga persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik A (a,f(a)) atau A (x1,y1) adalah

            y – y1 = m (x – x1)

Contoh :

Diketahui kurva y = x2 – 3x + 4 dan titik A (3,4)

  1. Tentukan gradient garis singgung di titik A.
  2. Tentukan persamaan garis singgung di titik A.

Jawab:

y = x2 – 3x + 4

y’ = 2x – 3

  1. Gradien di titik A (3,4)

m = y’x=3 = 2.3 – 3 = 6 – 3 = 3

      b. Persamaan garis singgung di titik A (3,4)

          y – y1 = m (x – x1)

          y – 4   = 3  (x – 3  )

          y – 4   = 3x – 9

                y   = 3x – 5

Latihan soal

  1. Tentukan gradien garis singgung pada kurva:
    1. y = x2 – 6x di titik (-1,7)
    2. y = sin 2x di titik
  2. Tentukan persamaan garis singgung pada kurva
    1. y = x2 – 2x – 3 di titik (3,1)
    2. y = x -2x2 di titik dengan absis 1
    3. y = (2-x)(2x +1) di titik dengan ordinat 8
  3. Suatu garis singgung pada kurva y = 3 + 2x – x2 sejajar dengan garis 4x + y = 3,                                              tentukan :

a. Titik singgung

b. persamaan garis singgung

FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN

y

 

About these ads

About boruhasibuan

sabar, berjuang, dan semangat yg disertai kemauan dan do'a dlm menghadapi sgala sesuatu hal, ini-lah yg selalu ada dlm pikiran-Q, berjuang dan berjuang!!!!
This entry was posted in Uncategorized. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s